コンテンツへスキップ →

成層構造の弾性波の求め方(Part1)


はじめに

 単点微動計測の結果から地盤のS波速度構造のインバージョンをしてみたいと思い、基礎理論の復習をしました。主に参考にしたのは斎藤正徳著「地震波動論」1、纐纈一起著「地震動の物理学」2とHaskell, 19533です。

 マクロスケールにおいて地盤の挙動は弾性体として近似できます。そのため、地盤中を伝わる波は弾性波の波動方程式を用いて記述できます。

\begin{equation} \rho \ddot{u}_i = \mu u_{i, jj} + (\lambda + \mu)u_{j, ij} + g_i \label{eq:a} \end{equation}

この方程式は三次元での弾性体の運動方程式(変位-力関係)、

\begin{equation} \rho \ddot{u}_i = \sigma_{ij, j}+g_i \end{equation}

等方弾性体の応力ひずみ関係、

\begin{equation} \sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl} \end{equation}

さらにひずみと変位の関係式、

\begin{equation} \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} (u_{i, j} + u_{j, i}) \end{equation}

の3つの式を連立することで求められます。$\rho$は密度、$u_i \, (i=1, 2, 3)$は変位ベクトル、$\lambda$はラメの第1定数、$\mu$はラメの第2定数、$g_i$は体積力ベクトル、$\sigma_{ij}$は応力テンソル、$C_{ijkl}$は弾性係数テンソル、$\varepsilon_{ij}$はひずみテンソルになります。また式 \ref{eq:a} において、$\ddot{u}_i$は変位ベクトルの2階時間微分を、$u_{i, jk}$は変位ベクトルの2階空間微分を表します。すなわち$\ddot{u}_i=\frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2}$であり、$u_{i, jk}=\frac{\partial^2 u_i}{\partial x_j \partial x_k}$です。 式\ref{eq:a}をNavierの式といい、$\nabla$を用いて

\begin{equation} \rho \ddot{\boldsymbol{u}} = – \mu \nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{u}) + (\lambda + 2\mu) \nabla (\nabla \cdot \boldsymbol{u}) + \boldsymbol{g} \label{eq:navier_general}\end{equation}

とも表現されます。また直行座標系の場合には変位の各成分のそれぞれのラプラシアンをとったものが、一般座標系のベクトルのラプラシアンの定義と一致するため、簡易的に

\begin{equation} \rho \ddot{\boldsymbol{u}} = \mu \nabla^2 \boldsymbol{u} + (\lambda + \mu) \nabla (\nabla \cdot \boldsymbol{u}) + \boldsymbol{g} \end{equation}

と表現されることもあります。

ポテンシャルの導入

$u_k$は3次元のベクトル場です。このためヘルムホルツの定理からこのベクトル場に対して、次式を満たすようなスカラーポテンシャル$\phi$とベクトルポテンシャル$\boldsymbol{A}$が存在します。

\begin{align} \boldsymbol{u} &= \nabla \phi + \nabla \times \boldsymbol{A} \label{eq:c} \end{align}

ここで式\ref{eq:c}の自由度について見てみます。左辺は3なのに対して、右辺は4になりますが、ここでベクトルポテンシャルには$\nabla \cdot \boldsymbol{A} = 0$の条件がつくため自由度の観点からは問題ありません。$\nabla \times \nabla \phi \equiv 0$と$\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{A}) \equiv 0$を用いて式変形を行いましょう。左から式\ref{eq:c}の辺々に$\nabla \cdot$を作用させると

\begin{align} \nabla \cdot \boldsymbol{u} &= \nabla \cdot \nabla \phi + \nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{A}) \\ &= \nabla \cdot \nabla \phi \label{eq:d} \end{align}

となります。同様に左から式\ref{eq:c}の辺々に$\nabla \times$を作用させると、

\begin{align} \nabla \times \boldsymbol{u} &= \nabla \times \nabla \phi + \nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{A}) \\ &= \nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{A}) \label{eq:e} \end{align}

となります。これらを用いて式\ref{eq:navier_general}を書き換えていきましょう。左から式\ref{eq:navier_general}の辺々に$\nabla \cdot$を作用させると、

\begin{align} \rho \frac{\partial^2}{\partial t^2} (\nabla \cdot \boldsymbol{u}) &= – \mu \nabla \cdot \nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{u}) + (\lambda + 2\mu) \nabla \cdot \nabla (\nabla \cdot \boldsymbol{u}) \\ &= (\lambda + 2\mu) \nabla^2 (\nabla \cdot \boldsymbol{u})\end{align}

となります。ここで\ref{eq:d}を用いると、

\begin{align} \rho \frac{\partial^2}{\partial t^2} (\nabla^2 \phi) = (\lambda + 2\mu) \nabla^2 \phi \end{align}

となります。時間微分と変位微分は交換可能であるため、

\begin{align} \nabla^2 \left(\rho \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} – (\lambda + 2\mu) \phi \right) = 0\end{align}

このためスカラーポテンシャル$\phi$が満たすべき条件は

\begin{align} \rho \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} =(\lambda + 2\mu) \phi \label{eq:f} \end{align}

となります。また、ベクトルポテンシャル$\boldsymbol{A}$についても同様に、左から式\ref{eq:navier_general}の辺々に$\nabla \times$を作用させると、

\begin{align} \rho \frac{\partial^2}{\partial t^2} (\nabla \times \boldsymbol{u}) &= – \mu \nabla \times \nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{u}) + (\lambda + 2\mu) \nabla \times \nabla (\nabla \cdot \boldsymbol{u}) \\ &= – \mu \nabla \times \nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{u}) \end{align}

となります。ここで\ref{eq:e}を用いて、整理すると

\begin{align} \nabla \times \nabla \times \left(\rho \frac{\partial^2 \boldsymbol{A}}{\partial t^2} +\mu \nabla \times \nabla \times \boldsymbol{A} \right) = 0\end{align}

となります。ここで$\nabla \times \nabla \times \boldsymbol{A} = \nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{A}) – \nabla^2 \boldsymbol{A}$であることから、

\begin{align} \nabla \times \nabla \times \left[\rho \frac{\partial^2 \boldsymbol{A}}{\partial t^2} +\mu \left\{ \nabla(\nabla \cdot \boldsymbol{A}) – \nabla^2 \boldsymbol{A} \right\}) \right] = 0\end{align}

となり、再度恒等式$\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol{A}) = 0$より、

\begin{align} \nabla \times \nabla \times \left\{\rho \frac{\partial^2 \boldsymbol{A}}{\partial t^2} -\mu \nabla^2 \boldsymbol{A} \right\} = 0\end{align}

となり、ベクトルポテンシャル$\boldsymbol{A}$の満たすべき条件は

\begin{align} \rho \frac{\partial^2 \boldsymbol{A}}{\partial t^2} =\mu \nabla^2 \boldsymbol{A} \label{eq:g} \end{align}

になります。式\ref{eq:f}と式\ref{eq:g}は次式に等価に変換できます4

\begin{align} \frac{\partial^2 \phi }{\partial t^2} &= \alpha^2 \nabla^2 \phi \label{eq:h1} \\ \frac{\partial^2 (\nabla \times \boldsymbol{A})_z}{\partial t^2} &= \beta^2 \nabla^2 (\nabla \times \boldsymbol{A})_z \label{eq:h2} \\ \frac{\partial^2 A_z}{\partial t^2} &= \beta^2 \nabla^2 A_z \label{eq:h3} \end{align}

なおここでは今後の計算の簡略化のために、$\alpha^2 = (\lambda + 2\mu) / \rho $、$\beta^2 = \mu / \rho $と置き換えました。式\ref{eq:h2}についてはベクトルポテンシャルにおける定義5の$\nabla \cdot \boldsymbol{A} = 0$と$A_z=0$より、

\begin{align} \nabla \cdot A &= \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \\ &= \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} = 0 \label{eq:i} \end{align}

式\ref{eq:i}は$ \chi/2 \equiv \frac{\partial A_x}{\partial y} = – \frac{\partial A_y}{\partial x}$となるような$\chi$が存在することを意味します。なお$\frac{1}{2}$はあくまで次式の簡略化のためにつけた係数です。ここで式\ref{eq:h2}中の$(\nabla \times \boldsymbol{A})_z$について、

\begin{align} (\nabla \times \boldsymbol{A})_z &= \frac{\partial A_x}{\partial y} – \frac{\partial A_y}{\partial x} \\ &= \chi \end{align}

が成立します。これにより式\ref{eq:h2}は

\begin{align} \frac{\partial^2 \chi}{\partial t^2} &= \beta^2 \nabla^2 \chi \end{align}

と変形でき、$A_z$を$\psi$に置き換えることで、式\ref{eq:h1}から式\ref{eq:h3}は

\begin{align} \frac{\partial^2 \phi }{\partial t^2} &= \alpha^2 \nabla^2 \phi \label{eq:j1} \\ \frac{\partial^2 \chi}{\partial t^2} &= \beta^2 \nabla^2 \chi \label{eq:j2} \\ \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} &= \beta^2 \nabla^2 \psi \label{eq:j3} \end{align}

となります。これらのそれぞれ式は3次元の波動方程式であるため、容易に解くことができます。以上の内容を一旦整理しましょう。3次元の弾性体の運動方程式であるNavierの式は

\begin{equation} \rho \ddot{\boldsymbol{u}} = – \mu \nabla \times (\nabla \times \boldsymbol{u}) + (\lambda + 2\mu) \nabla (\nabla \cdot \boldsymbol{u}) + \boldsymbol{g} \label{eq:navier_general_2} \end{equation}

と表現されます。そしてこの変位$\boldsymbol{u}$に対して、3つの変位ポテンシャル$\phi, \psi, \chi$を定義します。

\begin{equation} \boldsymbol{u} = \phi + \nabla \times (0, 0, \psi) + \nabla \times \nabla \times (0, 0, \chi) \end{equation}

これにより\ref{eq:navier_general_2}は3つの独立な微分方程式で表現できることになります6

\begin{align} \frac{\partial^2 \phi }{\partial t^2} &= \alpha^2 \nabla^2 \phi \label{eq:k1} \\ \frac{\partial^2 \chi}{\partial t^2} &= \beta^2 \nabla^2 \chi \label{eq:k2} \\ \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} &= \beta^2 \nabla^2 \psi \label{eq:k3} \end{align}

  1. https://amazon.co.jp/dp/4130607545
  2. https://amazon.co.jp/dp/4764905442
  3. N. A. Haskell; The dispersion of surface waves on multilayered media. Bulletin of the Seismological Society of America 1953;; 43 (1): 17–34. doi: https://doi.org/10.1785/BSSA0430010017
  4. この証明については「地震動の物理学」において「Kennett, 1983による$u_v, u_h$を用いた証明がこれに相当すると考えられる」との記載がありましたが、まだ確認できていません。
  5. すみません。この用語については曖昧です。
  6. このように整理してみると、$\boldsymbol{u}$が独立な3成分であり、定義したポテンシャル$\phi, \psi, \chi$の数も3です。そしてポテンシャル表記では独立な微分方程式で表現できることから、このポテンシャルの導入によって、微分方程式の直交化(←正しい用語ではありません)を行ったと言えるのかもしれません。

カテゴリー: 勉強のまとめ

コメント

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 が付いている欄は必須項目です